一、基本定义#

前提条件：函数的定义域必须关于原点对称。即对任意 $x \in D$，都有 $-x \in D$。定义域不对称的函数，一定是非奇非偶函数。

二、判别方法与标准步骤#

1. 第一步：校验定义域 先判断函数定义域是否关于原点对称。

   • 不对称 → 直接判定为非奇非偶函数，无需后续计算
   • 对称 → 进入下一步判断

2. 第二步：计算 $f(-x)$ 将表达式中所有的 $x$ 替换为 $-x$，化简得到 $f(-x)$ 的最简形式。

3. 第三步：对比判定

   • 若 $f(-x) = f(x)$ → 偶函数
   • 若 $f(-x) = -f(x)$ → 奇函数
   • 两者都不满足 → 非奇非偶函数

三、运算性质速查表#

设 $f(x)$、$g(x)$ 定义域均关于原点对称：

速记口诀：同乘得偶，异乘得奇；同加同性，异加不定。

四、常见函数奇偶性速记#

五、对称区间积分结论（高数高频考点）#

在对称区间 $[-a,\,a]$ 上：

✅ 奇函数积分 $\int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ 奇函数在对称区间上的定积分为0。

✅ 偶函数积分 $\int_{-a}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x = 2\int_{0}^{a} f(x)\,\mathrm{d}x$ 偶函数在对称区间上的定积分，等于半区间积分的2倍。