4.1 奇偶性的判定法则#

设 $f, g$ 定义域关于原点对称，则：

4.2 常用基本函数的奇偶性#

• 奇函数：$x^n$（$n$ 为奇数）、$\sin x$、$\tan x$、$\arcsin x$、$\arctan x$、$\dfrac{a^x - a^{-x}}{2}$（双曲正弦 $\sinh x$）
• 偶函数：$x^n$（$n$ 为偶数）、$\cos x$、$|x|$、常数函数、$\dfrac{a^x + a^{-x}}{2}$（双曲余弦 $\cosh x$）
• 非奇非偶：$e^x$、$\ln(1+x)$、$x^2 + x$ 等（但它们在对称区间上仍可用万能公式）

例 1（直接应用奇偶性）#

计算 $\displaystyle\int_{-1}^{1} \left(x^3 \cos x + \frac{1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x$。

分析：

• $x^3$ 是奇函数，$\cos x$ 是偶函数，奇 × 偶 = 奇，故 $x^3\cos x$ 为奇函数，其在对称区间上积分为 $0$；
• $\dfrac{1}{1+x^2}$ 是偶函数，积分翻倍。

解：

$\int_{-1}^{1} \left(x^3 \cos x + \frac{1}{1+x^2}\right)\mathrm{d}x = 0 + 2\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} = 2\arctan x \Big|_0^1 = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

例 2（被积函数非奇非偶，用万能公式）#

计算 $\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1 + e^x}\,\mathrm{d}x$。

分析：$f(x) = \dfrac{x^2}{1+e^x}$ 既非奇函数也非偶函数，但区间 $[-1,1]$ 对称，使用万能公式：

解：

$f(x) + f(-x) = \frac{x^2}{1+e^x} + \frac{x^2}{1+e^{-x}} = x^2\left(\frac{1}{1+e^x} + \frac{e^x}{1+e^x}\right) = x^2$

因此：

$\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}$

本题是考研中的经典题。若想不到奇偶性技巧而硬算原函数，将极其繁琐。

例 3（拆分后分别判断）#

计算 $\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(x^2 + x\right)\cos x\,\mathrm{d}x$。

分析：拆成两部分分别判断：

• $x^2\cos x$：偶 × 偶 = 偶；
• $x\cos x$：奇 × 偶 = 奇，积分为 $0$。

解：

$\text{原式} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x\,\mathrm{d}x$

对剩余部分用分部积分：

$\int x^2\cos x\,\mathrm{d}x = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$

代入上下限：

$2\left[x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2\left(\frac{\pi^2}{4} - 2\right) = \frac{\pi^2}{2} - 4$

例 4（区间不对称时先改造）#

计算 $\displaystyle\int_{-1}^{2} x\sqrt{|x|}\,\mathrm{d}x$ 的思路提示。

分析：区间 $[-1,2]$ 不对称，不能直接套公式。处理方法是拆区间：

$\int_{-1}^{2} = \int_{-1}^{1} + \int_{1}^{2}$

第一部分中 $x\sqrt{|x|}$ 是奇函数（$x$ 奇，$\sqrt{|x|}$ 偶，奇 × 偶 = 奇），积分为 $0$，只需计算：

$\int_{1}^{2} x\sqrt{x}\,\mathrm{d}x = \int_{1}^{2} x^{\frac{3}{2}}\,\mathrm{d}x = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\Big|_1^2 = \frac{2}{5}\left(4\sqrt{2} - 1\right)$